期待値と分散
「平均していくら？」を表す期待値と、「どれくらい揺れる？」を表す分散・標準偏差。運とリスクを数字で語る道具です。
1. 期待値：平均的にいくら？
中級ゲームを何度も遊んだとき、1回あたり平均していくらになるかが期待値です。サイコロの目の期待値を、100回振った平均から考えます。
各目が約1/6ずつ出ると考えると、平均は「値 × その確率」の合計です。
xᵢ は取りうる値、pᵢ はその確率。期待値は、実際に出る値とは限りません（サイコロで3.5は出ない）が、長い目で見た平均です。
2. お金のゲームで使う
1回あたり平均+100円のゲームです。参加料が100円を超えるなら、長期的には損です。
1枚150円で売るなら、買う側の期待損益は 200−150＝+50円。ただし現実の宝くじは、期待値が購入額を下回る設計です。
3. 期待値の便利な性質
E(aX ＋ b) ＝ a·E(X) ＋ b（値を2倍して10を足せば、平均も2倍して10足す）E(X ＋ Y) ＝ E(X) ＋ E(Y)（独立でなくても成り立つ）
サイコロ2個の目の和の期待値は 3.5＋3.5＝7。前のページの表で7が真ん中だったことと合っています。
二項分布（成功確率p、n回）なら、1回あたりの成功回数の期待値が p なので、合計は E ＝ n·p。ガチャ3%を100回引けば、平均3回当たります。
4. 期待値だけでは足りない：ばらつき
次の2つのゲームは、どちらも期待値が100円です。
| ゲーム | 結果 | 期待値 |
|---|---|---|
| A | 確実に100円 | 100円 |
| B | 1/2で200円、1/2で0円 | 100円 |
同じ期待値でも、Bは結果が大きく揺れます。この「揺れ」を測る数が分散と標準偏差です。
「平均からのずれ」を2乗して平均したものが分散、それを√で元の単位に戻したものが標準偏差です。
ゲームAは分散0。同じ平均でも、Bは「平均±100円」ぶれる賭けだと数字で言えます。
5. 分散の性質と二項分布
V(aX ＋ b) ＝ a²·V(X)（足す定数は分散に無関係。掛ける数は2乗で効く）- X と Y が独立なら
V(X＋Y) ＝ V(X) ＋ V(Y) - 二項分布：
E ＝ np、V ＝ npq、標準偏差√(npq)
6. 標準偏差の目安
ざっくり言えば、結果の多くは「平均 ± 標準偏差の2倍」の範囲に入ります（きれいな山型のとき約95%。詳しくは次章）。
コインを100回投げると、表の回数は平均50、標準偏差 √(100×0.5×0.5)＝5。だから多くの場合40〜60回に収まります。「ちょうど50回」は約8%しかありませんが、「45〜55回」なら約73%です。
期待値プラスでも、揺れる：3つのゲームを遊ぼう
5人が同じゲームを遊んだ、累計損益の推移です。0円のラインより上にいる人が勝ち組。
7. 練習問題
- サイコロを振り、偶数なら目×100円もらい、奇数は0円。期待値は？
- 1/5の確率で1000円もらい、4/5の確率で200円払う。期待値は？
- コインを投げて表なら+3、裏なら−1。期待値、分散、標準偏差は？
- 成功確率0.3で100回挑戦する。成功回数の期待値、分散、標準偏差は？
- E(X)＝5、V(X)＝4 のとき、Y＝3X−2 の期待値、分散、標準偏差は？
答えと途中式を確認する
1：(2＋4＋6)×100 ÷ 6 ＝ 200円。
2：1000×1/5 − 200×4/5 ＝ 200 − 160 ＝ +40円。
3：E ＝ 3×1/2 − 1×1/2 ＝ 1。E(X²) ＝ (9＋1)/2 ＝ 5。V ＝ 5 − 1 ＝ 4。σ ＝ 2。
4：E ＝ 100×0.3 ＝ 30。V ＝ 100×0.3×0.7 ＝ 21。σ ＝ √21 ≒ 4.58。
5：E(Y) ＝ 3×5−2 ＝ 13。V(Y) ＝ 3²×4 ＝ 36。σ ＝ 6。