数学A｜確率（確率シリーズ第2章）

確率の基本

確率の定義から、余事象・加法定理・独立まで。高校数学Aの確率を、サイコロとコインを手がかりに整理します。

「同様に確からしい」がキーワードだよ。ここを守れば、確率の計算はぜんぶ数え方の問題になるんだ！

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1. 確率とは何か

初級確率とは、「ある出来事の起こりやすさ」を 0 から 1 までの数で表したものです。

P(A) ＝ Aが起こる場合の数 ÷ 起こりうる全部の場合の数

ただし、どの場合も同様に確からしい（どれも同じ程度に起こりやすい）ときに限ります。

0
絶対に起きない

1/2 ＝ 0.5
五分五分

1
必ず起きる

用語を確認します。試行は結果が偶然で決まる実験、事象はその結果の集まり、全事象は起こりうる結果すべての集まりです。事象Aの確率を P(A) と書きます。

2. サイコロ2個の全36通り

大小2個のサイコロを振ります。大の出方6通り × 小の出方6通り＝全部で 36通りで、どの組も同様に確からしいです。目の和を表にします。

大＼小	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

和が7になる場所（黄色）は6か所なので、P(和が7) ＝ 6/36 ＝ 1/6。和ごとの場合の数は次のとおりです。

和	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
場合の数	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

7が一番出やすく、両端の2と12は36回に1回ずつ。この山型の形は、後の章で何度も登場します。

3. 「同様に確からしい」を疑う

コインを2枚投げて「表が2枚になる確率」は？　「0枚、1枚、2枚の3通りだから 1/3」と考えたくなりますが、これは誤りです。

コインに名前を付けると：（表,表）（表,裏）（裏,表）（裏,裏）の 4通り

表が2枚になるのは1通り → P ＝ 1/4

「表が1枚」は（表,裏）と（裏,表）の2通りあるので、3つの結果は同様に確からしくありません。同様に確からしい単位まで細かく分けるのが鉄則です。

4. 余事象：「ない」を考える

事象Aが起こらない事象を余事象といい、Ā と書きます。

P(Ā) ＝ 1 − P(A)

例題：コインを3回投げて、表が少なくとも1回出る確率。

全部で 2³ ＝ 8通り

「少なくとも1回表」の反対は「3回とも裏」で 1通り

P ＝ 1 − 1/8 ＝ 7/8

「少なくとも」「〜でない」が出たら余事象。これは確率の中で最も使い勝手のよい近道です。

5. 加法定理：「または」の確率

AとBが同時に起こらない（排反）なら、確率は足せます。

P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)　（排反のとき）

同時に起こりうるときは、重なりを二重に数えているので、1回分引きます。

P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B) − P(A∩B)

例題：1〜100の整数から1つ選ぶとき、2の倍数または3の倍数である確率。

2の倍数は50個、3の倍数は33個、両方（6の倍数）は16個

P ＝ 50/100 ＋ 33/100 − 16/100 ＝ 67/100

6. 独立：影響し合わない

片方の結果がもう片方の確率に影響しないとき、2つの事象は独立です。このとき「かつ」の確率は掛け算になります。

P(A∩B) ＝ P(A) × P(B)　（独立のとき）

例：コインを2回投げて、2回とも表＝ 1/2 × 1/2 ＝ 1/4。1回目の結果が2回目に影響しないので独立です。

排反と独立は別物：排反は「同時に起きない」、独立は「影響し合わない」。サイコロ1回で「1の目」と「2の目」は排反ですが、1が出たら2は絶対に出ないので、独立ではありません（むしろ強く影響し合っています）。

7. 取り出し方：戻す・戻さない

赤玉3個、白玉2個から2個取り出します。

戻さずに順に2個、どちらも赤：3/5 × 2/4 ＝ 3/10

組合せで同時に2個、どちらも赤：₃C₂ ÷ ₅C₂ ＝ 3/10

戻さずに順に取るのと、同時に取るのとで確率は同じです。一方、取ったら戻す場合は毎回条件が同じなので独立になり、赤・赤は 3/5 × 3/5 ＝ 9/25 です。

サイコロ2個の実験：理論と見比べよう

振る回数

ボタンを押すと、目の和の割合を理論値（緑）と並べて表示します。

回数を増やすほど、実験（黄）が理論（緑）に近づくのを確かめてね。

8. 例題と練習

例題：10本のくじに当たりが3本。2人が順に1本ずつ引く（戻さない）とき、2人とも当たる確率。

1人目が当たる 3/10、そのとき残りは9本で当たり2本 → 2/9

3/10 × 2/9 ＝ 6/90 ＝ 1/15

ちなみに、2人目が当たる確率は 3/10 で、1人目と同じです。くじ引きは順番に関係なく公平です。

大小2個のサイコロで、目の和が8になる確率は？
コインを4回投げて、少なくとも1回裏が出る確率は？
赤玉4個、白玉3個から2個同時に取り出す。同じ色になる確率は？
1〜30の整数から1つ選ぶとき、3の倍数または5の倍数である確率は？
サイコロ2個を振って、少なくとも1個が偶数である確率は？
当たり3本を含む10本のくじから、2人が順に引く（戻さない）。2人とも当たる確率は？

答えと途中式を確認する

1：和が8になるのは（2,6）（3,5）（4,4）（5,3）（6,2）の5通り。5/36。

2：1 − 全部表の確率＝ 1 − 1/16 ＝ 15/16。

3：全体 ₇C₂ ＝ 21。赤赤 ₄C₂＝6、白白 ₃C₂＝3。(6＋3)/21 ＝ 3/7。

4：3の倍数10個、5の倍数6個、15の倍数2個。(10＋6−2)/30 ＝ 14/30 ＝ 7/15。

5：1 − 「2個とも奇数」＝ 1 − (1/2 × 1/2) ＝ 3/4。

6：3/10 × 2/9 ＝ 1/15。