数学A｜場合の数（確率シリーズ第1章）

場合の数

確率の土台は「数え上げ」です。樹形図から順列・組合せまで、漏れなく重なりなく数える方法を学びます。

確率が苦手な人の多くは、実は数え方でつまずいてるの。ここを押さえれば、次からがぐっとラクになるよ！

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1. 確率の前に「数える」

確率は、ほとんどの場合「あることが起きる場合の数 ÷ 全部の場合の数」で決まります。だから確率の第一歩は、漏れなく・重なりなく数えることです。

初級このページは高校数学Aの「場合の数」です。公式より先に、数え方の考え方を見ていきます。

数え方のコツはたった2つ。

① 全部書き出す（樹形図）　② 規則が見えたら掛け算・足し算にまとめる

2. 樹形図で全部書き出す

上着が2枚（A、B）、ズボンが3本（①②③）あるとき、コーディネートは何通りでしょう。上着を決めると、その先でズボンが3本に分かれます。

枝の先は 2×3 ＝ 6通り。上着ごとに「3通りずつ」あるのが、掛け算の正体です。

3. 積の法則と和の法則

積の法則：順に選ぶ → 掛ける

Aの選び方が m 通り、そのそれぞれについてBの選び方が n 通りなら、A→Bの選び方は m × n 通り。

和の法則：どちらか一方を選ぶ → 足す

AとBが同時には起きないとき、「AまたはB」は m ＋ n 通り。

例題：家から駅まで道が3本、駅から学校まで道が5本ある。

家 → 駅 → 学校：3 × 5 ＝ 15通り（順に選ぶので掛け算）

学校へ行くのに「バス3路線」か「電車2路線」のどれか1つ：3 ＋ 2 ＝ 5通り（どちらか1つなので足し算）

4. 並べ方：階乗

3人（A、B、C）を1列に並べる方法を数えます。先頭は3人から選べて、次は残り2人、最後は1人だけです。

3 × 2 × 1 ＝ 6通り

この「n から 1 まで順に掛けたもの」を n の階乗といい、n! と書きます。

n	1	2	3	4	5	6	10
n!	1	2	6	24	120	720	3,628,800

10人を並べるだけで360万通り以上。組み合わせの数は、あっという間に大きくなります。なお 0! ＝ 1 と決めます（「何も並べない並べ方」が1通りあると考える）。

5. 順列：順番に意味があるとき

10人から、会長・副会長・書記を1人ずつ決めます。会長は10人から、副会長は残り9人から、書記は残り8人からです。

10 × 9 × 8 ＝ 720通り

n 個から r 個を選んで順番に並べる方法を ₙPᵣ と書きます。

ₙPᵣ ＝ n × (n−1) × … × (n−r＋1)　（r 個の数を掛ける）

6. 組合せ：順番に意味がないとき

10人から、役職のない3人の代表を選ぶとします。「A、B、C」を選んでも、「C、A、B」を選んでも同じメンバーです。

順列で数えた 720通りでは、同じ3人組が「並べ方の数 3! ＝ 6通り」ずつ重複しています。だから 6 で割ります。

₁₀C₃ ＝ 720 ÷ 6 ＝ 120通り

ₙCᵣ ＝ ₙPᵣ ÷ r! ＝ n! ÷ ( r! (n−r)! )

ₙCᵣ ＝ ₙC₍ₙ₋ᵣ₎：「選ぶ r 人」を決めることは「選ばない n−r 人」を決めることと同じ。だから ₁₀C₇ ＝ ₁₀C₃ ＝ 120。大きい方は小さい方に直して計算すると楽です。

7. パスカルの三角形

組合せの数を並べると、隣り合う2つの和が下の数になる三角形ができます。

n＼r	0	1	2	3	4	5	6
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1

たとえば ₄C₂ ＝ 6 は、上の行の ₃C₁＋₃C₂ ＝ 3＋3 です。「特定の1人を選ぶ場合」と「選ばない場合」に分けると、足し算になる理由が分かります。この表は、後の二項分布でも主役になります。

組合せ・順列の電卓

n r

n と r を入れて「計算する」を押してね。

nは60まで。大きな数もBigIntで正確に計算します。

8. もっと数える技

同じものを含む順列： A、A、B、B、B を並べる方法は 5! ÷ (2! × 3!) ＝ 10通り。「5か所のうちAを置く2か所を選ぶ」と考えて ₅C₂ ＝ 10 でも同じです。
重複順列： 3択問題を5問、順に答える方法は 3⁵ ＝ 243通り。毎回3通りで、選択肢は使い回せます。
円順列： 円卓に n 人が座る方法は (n−1)!。回転して重なるものは同じとみなすため、1人を固定して考えます。6人なら 5! ＝ 120通り。
「少なくとも」は引き算： 7人（男4・女3）から3人選び、女子を少なくとも1人含む選び方は、全体から男子だけの場合を引いて ₇C₃ − ₄C₃ ＝ 35 − 4 ＝ 31通り。

9. 例題

例題：男子4人、女子3人から、男子2人と女子2人を選ぶ方法は何通り？

男子の選び方 ₄C₂ ＝ 6通り

女子の選び方 ₃C₂ ＝ 3通り

「そして」なので掛け算：6 × 3 ＝ 18通り

例題（運の話）：ロト6は、1〜43の数字から6個を選びます。順番は関係ないので組合せです。

₄₃C₆ ＝ 6,096,454通り

ある1通りを買って当たる確率は約 600万分の1。次のページからは、この「数えた結果」を使って確率を計算していきます。

10. 練習問題

上着4枚、ズボン3本、靴2足から1つずつ選ぶコーディネートは何通り？
7人から会長と副会長を1人ずつ選ぶ方法は何通り？
8人から3人の代表を選ぶ方法は何通り？
a、a、b、b、b、c の6文字を1列に並べる方法は何通り？
男子4人、女子3人から、男子2人と女子2人を選ぶ方法は何通り？
6人が円卓に座る方法は何通り？
男子4人、女子3人から3人選ぶとき、女子が少なくとも1人含まれる選び方は何通り？

答えと途中式を確認する

1：4 × 3 × 2 ＝ 24通り。

2：順番（役職）に意味があるので ₇P₂ ＝ 7 × 6 ＝ 42通り。

3：₈C₃ ＝ (8×7×6)÷(3×2×1) ＝ 56通り。

4：6! ÷ (2! × 3! × 1!) ＝ 720 ÷ 12 ＝ 60通り。

5：₄C₂ × ₃C₂ ＝ 6 × 3 ＝ 18通り。

6：(6−1)! ＝ 120通り。

7：全体 ₇C₃ ＝ 35から、男子だけ ₄C₃ ＝ 4 を引いて 31通り。