数学II｜複素数と方程式

虚数と複素数

「2乗すると−1になる数」を加えると、解けなかった方程式が解け、数を平面上の回転として見られるようになります。

虚数は“存在しない数”ではないよ。実数だけでは足りない場面に、新しい方向を一本加えた数なんだ。

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1. なぜ新しい数が必要なのか

x²＝−1を実数の範囲で考えると解はありません。正の数を2乗しても、負の数を2乗しても、結果は0以上になるからです。

数学では、引き算のために負の数、割り算のために分数、平方根のために無理数へと数の世界を広げてきました。同じ発想で、負の数の平方根を扱えるようにしたものが虚数です。

2. iの累乗は4個で一周する

さらにiを掛けると i⁴＝1へ戻ります。その後は1、i、−1、−iを繰り返します。

3. 複素数 a＋bi

実数a、bを使って a＋biと表される数を複素数といいます。

• b＝0なら、a＋0i＝aなので普通の実数です。
• a＝0、b≠0なら、biを純虚数といいます。
• a＋bi＝c＋di であるための条件は、a＝cかつb＝dです。

4. 複素数の計算

足し算・引き算

実部どうし、虚部どうしをまとめます。

掛け算

普通の文字式と同じように展開し、最後にi²を−1へ直します。

割り算と共役複素数

a＋biに対するa−biを共役複素数といいます。掛けると虚数部分が消えます。

5. 負の数の平方根

たとえば √−9＝3iです。ただし、方程式 x²＝−9の解を聞かれた場合は、平方根を取るときに±が必要なので x＝±3iです。

6. 二次方程式に虚数が現れるとき

解の公式の判別式Dが負なら、√Dの部分にiが現れます。

7. 複素平面で「見える数」にする

実数aを横軸、虚部bを縦軸に取ると、複素数a＋biを点(a,b)として表せます。

この図では、複素数は「横へ3、上へ2進んだ点」です。原点からの距離を絶対値といい、

|3＋2i|＝√13です。共役な数3−2iは実軸について上下対称な位置にあります。

8. 掛け算を回転として見る

複素数a＋biへiを掛けると、

座標(a,b)が(−b,a)へ移ります。これは原点を中心に反時計回りへ90°回転する変換です。

9. さらに先：オイラーの公式

10. よくある間違い

• i²＝1ではなく、i²＝−1。
• √a√b＝√abは、実数ではa、bがともに0以上のときに使う法則。負数へ無造作に使わない。
• 1/i＝iではない。1/i＝i/i²＝−i。
• 複素数には、実数のような通常の大小関係を付けません。「3＋i＞2＋5i」のような比較はしません。

11. 確認問題

1. i²³を求める。
2. (3−2i)＋(1＋5i)を計算する。
3. (2＋i)(2−i)を計算する。
4. (1＋i)/(1−i)をa＋biの形にする。
5. x²＝−16を解く。
6. x²−4x＋13＝0を解く。