数学I｜図形と計量
三角比入門
sin A・cos A・tan A は、直角三角形の「角度」と「辺の長さの比」を結びつける道具です。
まずは「どの角から見るか」を決めよう。辺の名前を書き込めば、もう半分できたようなものだよ！
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1. まず言葉を整理する
直角三角形で、注目する角を A とします。3辺は角 A から見て次のように呼び分けます。
sin A：高さ ÷ 斜辺
cos A：横方向 ÷ 斜辺
tan A：高さ ÷ 横方向
| 辺 | 見分け方 |
|---|---|
| 斜辺 | 直角の向かい側。必ず最も長い辺 |
| 対辺 | 角 A の向かい側の辺 |
| 隣辺 | 角 A に接する辺のうち、斜辺ではない方 |
sin A ＝ 対辺 ÷ 斜辺
cos A ＝ 隣辺 ÷ 斜辺
tan A ＝ 対辺 ÷ 隣辺
ここで大切なのは、辺の名前が固定ではなく、どの角を見ているかで対辺と隣辺が入れ替わることです。斜辺だけは変わりません。
2. 何を表しているのか
同じ角度 A をもつ直角三角形は、大小が違っても相似です。したがって対応する辺の比はいつも同じです。この一定の比に sin、cos、tan という名前を付けています。
- sin A：斜辺に対して、どれくらい高さがあるか
- cos A：斜辺に対して、横方向にどれくらい進むか
- tan A：横に1進むと、どれくらい上がるか（傾き）
高校数学Iでは、まずこれらを「三角比」として学びます。その後、角度の範囲を広げて考えると「三角関数」になります。
3. 例題
問題
∠C＝90°の直角三角形ABCで、AC＝5cm、BC＝12cmです。sin A、cos A、tan Aを求めなさい。
∠C＝90°の直角三角形ABCで、AC＝5cm、BC＝12cmです。sin A、cos A、tan Aを求めなさい。
解き方
まず三平方の定理から斜辺ABを求めます。
AB² ＝ 5²＋12² ＝ 25＋144 ＝169
長さは正なので AB＝13cm。角Aから見ると、対辺＝BC＝12、隣辺＝AC＝5、斜辺＝AB＝13です。
答え
sin A＝12/13 cos A＝5/13 tan A＝12/5
sin A＝12/13 cos A＝5/13 tan A＝12/5
4. 公式どうしの関係
対辺を a、隣辺を b、斜辺を c とすると、三平方の定理 a²＋b²＝c² より、両辺を c² で割って、
sin²A ＋ cos²A ＝ 1
また、(対辺÷斜辺)÷(隣辺÷斜辺) を計算すると、
tan A ＝ sin A ÷ cos A
5. 確認問題
直角三角形で、注目する角θの対辺が8、隣辺が15です。斜辺、sin θ、cos θ、tan θを求めてください。