数学I｜数と式

因数分解と解の公式

二次方程式を「積の形にする方法」と「どんな式でも使える方法」の両方から、理由ごと理解します。

最初から解の公式に飛びつかなくても大丈夫。まず因数分解できるか見て、難しければ公式へ進もう！
✦✦クリーム色のニット姿で二次方程式を説明する若い先生

1. 二次方程式とは

未知数xについて、いちばん高い次数が2である方程式を二次方程式といいます。すべての項を左辺へ集めると、基本形は次のようになります。

ax²＋bx＋c＝0　（a≠0）

a、b、cは決まった数です。aが0だとx²の項が消えるため、二次方程式ではなく一次方程式になります。

因数分解積が0になる性質を使う
速くて見通しがよい
⇄
解の公式a、b、cを代入する
因数分解できなくても使える

2. 因数分解で解く

因数分解は、足し算の式を掛け算の形へ直す操作です。二次方程式では、次の「積が0になる性質」が中心になります。

AB＝0 ならば、A＝0 または B＝0

0を作る掛け算では、少なくとも一方が0でなければなりません。

例題1：x²−5x＋6＝0

  1. 積が6、和が−5になる2数を探す。−2と−3。
  2. x²−5x＋6＝(x−2)(x−3)
  3. (x−2)(x−3)＝0なので、x−2＝0 または x−3＝0。
  4. x＝2、3。

例題2：先頭が1ではない場合

2x²＋7x＋3＝0を考えます。a×c＝2×3＝6で、積が6、和が7になる2数は6と1です。

2x²＋7x＋3＝2x²＋6x＋x＋3
＝2x(x＋3)＋1(x＋3)
＝(2x＋1)(x＋3)

したがって、2x＋1＝0 または x＋3＝0。答えは x＝−1/2、−3です。

3. 解の公式

整数だけではきれいに因数分解できない式にも使える、二次方程式の共通ルールです。

x＝(−b ± √(b²−4ac)) / (2a)

±は、＋の場合と−の場合を両方計算する記号です。分母は 2a全体です。

部分役割
−bxの係数bの符号を反対にする
b²−4ac平方根の中身。解の個数や種類を決める
2a分子全体を割る

4. なぜ解の公式になるのか

公式は暗記だけの魔法ではありません。平方完成を一般的な文字で行った結果です。

  1. 出発点：ax²＋bx＋c＝0
  2. 両辺に4aを掛ける：4a²x²＋4abx＋4ac＝0
  3. b²を利用して左辺を平方の形にする：4a²x²＋4abx＋b²＝b²−4ac
  4. 左辺をまとめる：(2ax＋b)²＝b²−4ac
  5. 平方根を取り、±を付ける：2ax＋b＝±√(b²−4ac)
  6. bを移項して2aで割る：x＝(−b±√(b²−4ac))/(2a)

5. 判別式 D が教えてくれること

平方根の中身 b²−4acを判別式といい、Dで表します。

D＝b²−4ac
D＞0
異なる実数解が2個
D＝0
重なった実数解が1個
D＜0
実数解なし
複素数では2個

グラフ y＝ax²＋bx＋cで見ると、D＞0はx軸と2点で交わり、D＝0は1点で接し、D＜0は交わりません。

6. 解の公式を使う例題

例題3：2x²＋3x−1＝0

a＝2、b＝3、c＝−1。符号まで含めて代入します。

D＝3²−4×2×(−1)＝9＋8＝17
x＝(−3±√17)/(2×2)＝(−3±√17)/4

√17は整数にならないため、この形が正確な答えです。

例題4：x²＋6x＋9＝0

D＝6²−4×1×9＝0
x＝−6/2＝−3

±√0はどちらも0なので、解は1種類です。これは(x＋3)²＝0と同じ結果です。

例題5：x²＋2x＋5＝0

D＝2²−4×1×5＝−16

実数の範囲では負の数の平方根を作れないため、実数解はありません。複素数まで広げると x＝−1±2iです。詳しくは次の「虚数」編で扱います。

7. どちらの方法を選ぶ？

① 共通因数がある：最初にくくる。例：2x²−6x＝2x(x−3)。
② すぐ因数分解できる：因数分解が最短。
③ 平方の形が見える：(x−p)²＝qへ変形して平方根を取る。
④ 迷う・分解できない：解の公式なら必ず進められる。

8. 確認問題

  1. x²−7x＋12＝0
  2. 3x²−2x−1＝0
  3. 2x²＋4x−3＝0
  4. x²−4x＋7＝0（複素数まで求める）
答えと途中式を確認する

1：(x−3)(x−4)＝0より、x＝3、4。

2：(3x＋1)(x−1)＝0より、x＝−1/3、1。

3：D＝4²−4×2×(−3)＝40。x＝(−4±√40)/4＝(−2±√10)/2。

4：D＝(−4)²−4×1×7＝−12。x＝(4±√−12)/2＝2±√3 i。