数学II｜指数・対数

対数入門

対数 log は、指数を逆向きにたずねる記号です。「何乗すればこの数になるか」を表します。

logはむずかしい新記号ではなく、指数への質問なんだよ。「何乗？」と読んでみよう。

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1. logの定義

logₐ M＝p　⇔　aᵖ＝M

条件：a＞0、a≠1、M＞0

対数の形	指数の形
log₂8＝3	2³＝8
log₃(1/9)＝−2	3⁻²＝1/9
log₁₀1＝0	10⁰＝1

「底」はa、「真数」はMです。真数Mは必ず正でなければなりません。これは、正の底を何乗しても結果が正になるためです。

2. 計算法則はなぜ成り立つのか

対数の法則は、指数法則をlogの言葉に言い換えたものです。

logₐ(MN)＝logₐM＋logₐN

logₐ(M/N)＝logₐM−logₐN

logₐ(Mᵏ)＝k logₐM

積が和になる理由

logₐM＝p、logₐN＝q と置くと、M＝aᵖ、N＝aᑫです。したがって MN＝aᵖ×aᑫ＝aᵖ⁺ᑫ。よって logₐ(MN)＝p＋q＝logₐM＋logₐN です。

商の法則も aᵖ÷aᑫ＝aᵖ⁻ᑫ、累乗の法則も (aᵖ)ᵏ＝aᵖᵏ という指数法則から出てきます。

3. 例題

log₂(x−1)＋log₂(x−3)＝3

まず真数条件：x−1＞0 かつ x−3＞0、よって x＞3。
積の法則から log₂{(x−1)(x−3)}＝3。
定義に戻して (x−1)(x−3)＝2³＝8。
x²−4x＋3＝8
x²−4x−5＝0
(x−5)(x＋1)＝0
x＝5 または x＝−1。
真数条件 x＞3 を満たすのは x＝5だけ。

答案では、二次方程式から得られた候補を両方書き、その後で真数条件を満たさない値を除きます。先に片方だけを選ぶより、解を落としたのではないことが明確になります。

4. 真数条件を最初に書く理由

途中で二次方程式などへ変形すると、logの中に入れられない値まで解として出ることがあります。式変形で得た候補を、最後に元の世界の条件で選別する必要があります。

この例題で得た x＝−1を元の式へ入れると、log₂(−2)やlog₂(−4)が現れ、実数の範囲では定義できません。

5. logは何に使うのか

2倍、3倍と増える現象から、何回で目標に達するかを求める。
複利、人口増加、放射性物質の減衰などの指数方程式を解く。
非常に大きな範囲を扱う尺度（音のデシベル、地震の規模など）を表す。

たとえば 2ˣ＝10 のように指数xが未知数のとき、x＝log₂10 と表せます。これが対数の中心的な役割です。

6. 確認問題

log₃81 を求める。
log₂(x−2)＋log₂(x−5)＝3 を解く。真数条件も書く。

答えを確認する

1：4。　2：真数条件x＞5。(x−2)(x−5)＝8よりx²−7x＋2＝0、したがって x＝(7＋√41)/2（もう一方は真数条件を満たさない）。