数学B｜数列
等差数列
同じ数を足し続ける並びを、具体的な数から第n項の式へつなぎ、和の公式を図で組み立てます。
いきなりaₙの公式を覚えなくていいよ。「第1項から何回進んだ？」を数えれば、自分で式を作れるからね。
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1. まず、毎回同じ数を足す場面を見る
会場にいすを並べます。1列目は4脚で、後ろの列へ行くたびに3脚ずつ増やすとします。
1列目4
2列目7
3列目10
4列目13
5列目16
できた数列は 4, 7, 10, 13, 16, …です。隣り合う項の差はいつも3。このように、前の項へ毎回同じ数を足してできる数列を等差数列といいます。
| 名前 | この例 | 意味 |
|---|---|---|
| 初項 a₁ | 4 | 最初の項 |
| 公差 d | 3 | 毎回足す一定の数 |
| 第n項 aₙ | まだ不明 | n番目の項 |
2. 第n項の式を、具体例から作る
第1項の4から、目的の項まで何回「＋3」をしたかを書いてみます。
第1項：4
第2項：4＋3×1＝7
第3項：4＋3×2＝10
第4項：4＋3×3＝13
第5項：4＋3×4＝16
項の番号より、足した回数が1だけ少ないことが見えてきます。第n項へ行くまでに公差3を足す回数は n−1回です。
第n項 ＝ 4 ＋ 3×(n−1)
ここで初めて、4を一般的な初項a₁、3を公差dへ置き換えます。
aₙ＝a₁＋(n−1)d
第n項 ＝ 最初の数 ＋「進んだ回数」×「毎回足す数」
3. 例題：第10項を求める
初項7、公差4の等差数列 7, 11, 15, 19, …の第10項を求めます。
- a₁＝7、d＝4、n＝10を確認する。
- a₁₀＝7＋(10−1)×4
- ＝7＋36＝43
つまり、7から4ずつ9回進んだ数が43です。
4. 和を、前後から並べて考える
3＋5＋7＋9＋11をSとします。同じ並びを逆順に書き、そのまま上下で足します。
3
5
7
9
11
11
9
7
5
3
14
14
14
14
14
上の1行がS、下の1行もSなので、合わせると2Sです。各列はすべて「最初の項＋最後の項」＝14で、それが5列あります。
2S＝14×5＝70
S＝70÷2＝35
一般の等差数列でも、順方向と逆方向を重ねると、a₁＋aₙという同じ高さの列がn本並ぶ長方形になります。その長方形は元の和2個分なので、2で割ります。
Sₙ＝n(a₁＋aₙ)÷2
和 ＝ 項の個数 ×（最初＋最後）÷2
5. 1＋2＋…＋nは、三角形を2つ合わせる
同じ考えを1からnまでに広げると、n行、n＋1列の長方形ができます。
1＋2＋…＋n＝n(n＋1)÷2
6. 例題：初項から第10項までの和
初項7、公差4の等差数列では、第10項が43でした。
S₁₀＝10×(7＋43)÷2
＝10×50÷2＝250
「10個の項の平均が(7＋43)÷2＝25で、それが10個ある」と考えても同じです。
7. 確認問題
5, 8, 11, 14, …の公差と第12項を求める。5, 8, 11, 14, …の初項から第12項までの和を求める。- 初項20、公差−3の等差数列の第8項を求める。
答えと考え方を確認する
1：公差は3。a₁₂＝5＋(12−1)×3＝38。
2：項は12個。S₁₂＝12×(5＋38)÷2＝258。
3：20から−3を7回足すので、a₈＝20＋7×(−3)＝−1。