マルコフ連鎖
「次の状態は今の状態だけで決まる」という仕組みを、天気の例で理解します。遷移行列、定常分布、そして検索エンジンや破産問題との関係まで。
1. 「今」だけで次が決まる
発展明日の天気は、昨日や一昨日の天気を全部調べなくても、今日の天気が分かれば、ある程度予想できるとしてみましょう。このように、次の状態の確率が「今の状態」だけで決まる仕組みをマルコフ連鎖と呼びます（マルコフ性）。
カジノの一歩ごとの所持金、ネットを移動する人、売上のブランド乗り換え、ゲームのすごろく…世の中にはたくさんの「今の状態→次の状態」があります。
2. 天気のモデル
次のような確率で天気が変わるとします。
| 今日＼明日 | 晴れ | 雨 | 合計 |
|---|---|---|---|
| 晴れ | 0.8 | 0.2 | 1 |
| 雨 | 0.4 | 0.6 | 1 |
この表を遷移確率の表といい、数の並びだけ取り出したものを遷移行列 P と呼びます。
ルール：各行の和は必ず1。「今日晴れ」なら、明日は晴れか雨のどちらかに必ずなるからです。
3. 2日後の天気：行列の掛け算
今日が晴れで、明後日が晴れである確率を考えます。明日が晴れなのか雨なのかで場合分けします。
同様に全部の組み合わせを計算して表にすると、2日後の遷移確率が出ます。これは行列 P を2回掛けた P² です。
| 今日＼2日後 | 晴れ | 雨 |
|---|---|---|
| 晴れ | 0.72 | 0.28 |
| 雨 | 0.56 | 0.44 |
P² の（i行 j列）は、「iから出発して、途中のすべての状態kを経由してjに着く確率」の合計です。たとえば雨→晴は、雨→晴→晴 ＝ 0.4×0.8 ＝ 0.32 と、雨→雨→晴 ＝ 0.6×0.4 ＝ 0.24 を足して 0.56。「行 × 列の掛けて足す」という行列の積の計算は、この場合分けそのものです。
4. 分布は落ち着く：定常分布
今日は晴れ（晴100%、雨0%）から始めて、日々の確率を追います。
| 日 | 今日 | 1日後 | 2日後 | 3日後 | … | ずっと先 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 晴れ | 1.000 | 0.800 | 0.720 | 0.688 | … | 0.667 |
| 雨 | 0.000 | 0.200 | 0.280 | 0.312 | … | 0.333 |
晴れの確率は 1 → 0.8 → 0.72 → 0.688 → … と下がり、2/3 に落ち着きます。初日が雨から始まっても、同じ値に近づきます。
その落ち着き先を定常分布といいます。「1日進んでも分布が変わらない」状態なので、次の式で求められます。
長い目で見ると、この街の日々の 2/3が晴れ、1/3が雨。最初にどんな天気だったかは、長期的には関係なくなります。
天気の連鎖を動かそう
上のグラフは「晴れの確率」を、最初に晴れだった場合と雨だった場合で計算したもの。両方が同じ値（定常分布）に近づきます。
5. 応用：ネットの重要度（ページランク）
ネット上を、リンクをランダムにたどって移動する人を考えます。各ページが「状態」、リンクが「遷移」です。長く歩き続けたとき、よく訪れるページは重要なページのはず。つまり定常分布が、ページの重要度になります。これが検索エンジンの初期の順位付け（ページランク）の基本アイデアです。
6. 吸収状態：ギャンブラーの破産もマルコフ連鎖
運と意思決定の破産の問題では、所持金が「状態」です。0円と目標額は、一度入ったら出られません（吸収状態）。天気のモデルと違って、ずっと動き続けるのではなく、最後はどちらかの端に吸い込まれます。その確率を求めたのが「a÷N」でした。
吸収（破産）
行き来する
吸収（達成）
7. 練習問題
- 上の天気で、今日が雨のとき、2日後が晴れの確率は？
- P ＝ (晴→晴 0.9、晴→雨 0.1／雨→晴 0.5、雨→雨 0.5) の定常分布は？
- 状態A→A 0.5、A→B 0.5、B→A 1（Bからは必ずAへ）の定常分布は？
- 遷移行列の各行の和はなぜ1？
- 上の天気で、今日が晴れのとき、3日後に晴れである確率は？
答えと途中式を確認する
1：P² の雨→晴：0.4×0.8 ＋ 0.6×0.4 ＝ 0.32＋0.24 ＝ 0.56。
2：晴の割合 π：π ＝ 0.9π ＋ 0.5(1−π) → 0.6π ＝ 0.5 → π ＝ 5/6。晴 5/6、雨 1/6。
3：Aの割合 π：π ＝ 0.5π ＋ 1×(1−π) → 1.5π ＝ 1 → π ＝ 2/3。A 2/3、B 1/3。
4：その状態にいるとき、次はどれかの状態に必ず移るため、行き先の確率を全部足すと1になる。
5：2日後の分布が（0.72, 0.28）。3日後の晴：0.72×0.8 ＋ 0.28×0.4 ＝ 0.576 ＋ 0.112 ＝ 0.688。