数学II｜図形と方程式
円の方程式
円の方程式は、「中心からの距離がいつも半径と等しい点の集まり」を数式にしたものです。
かっこの中と中心の符号は逆に見えるよ。y＋2 は y−(−2) と読み直してみよう！
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1. 基本形
(x−a)²＋(y−b)²＝r²
中心：(a, b) 半径：r（ただし r＞0）
中心 (a, b)
円周上の点P(x,y)と中心C(a,b)の距離は、距離の公式から √{(x−a)²＋(y−b)²} です。これが半径rに等しいので、両辺を2乗すると基本形になります。
2. 符号の読み方
かっこの中と中心の座標は符号が逆に見えます。
| 式 | 中心 |
|---|---|
| (x−3)²＋(y＋2)²＝25 | (3, −2) |
なぜなら y＋2 は y−(−2) と同じだからです。また右辺は半径ではなく半径の2乗です。25なら半径は5です。
3. 平方完成で基本形にする
平方完成の基本は、x²＋px＝(x＋p/2)²−(p/2)² です。xとyを別々に平方完成します。
例題
x²＋y²−6x＋4y−12＝0
(x²−6x)＋(y²＋4y)＝12
{(x−3)²−9}＋{(y＋2)²−4}＝12
(x−3)²＋(y＋2)²＝25
x²＋y²−6x＋4y−12＝0
(x²−6x)＋(y²＋4y)＝12
{(x−3)²−9}＋{(y＋2)²−4}＝12
(x−3)²＋(y＋2)²＝25
よって中心は (3, −2)、半径は5です。
4. なぜ途中で9と4を扱うのか
x²−6xを(x−3)²にすると、展開したときに余分な＋9が加わります。そのため−9を付けて、式全体の値を変えないようにします。同様に、y²＋4yを(y＋2)²にすると余分な＋4が加わるため−4を付けます。
5. すぐ読める特別な場合
- x²＋y²＝r²：中心は原点(0,0)、半径r。
- (x−a)²＋(y−b)²＝0：中心の1点だけになり、通常の円とは扱いません。
- 平方完成後の右辺が負：実数平面上にそのような点はなく、円は存在しません。
6. 確認問題
x²＋y²＋8x−2y−8＝0 を基本形に直し、中心と半径を求めてください。