数学I｜集合と命題
集合入門
集合とは、「何が入っているかが明確に決まるものの集まり」です。中に入る一つ一つを要素と呼びます。
補集合は「誰の外側？」が大事！ Aの補集合なら、BではなくAだけを見て考えようね。
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1. 基本の書き方
A＝{2, 4, 6} のように、要素を波かっこで囲みます。
| 記号 | 読み方・意味 | 例 |
|---|---|---|
| ∈ | 「…は集合の要素である」 | 2 ∈ A |
| ∉ | 「…は集合の要素ではない」 | 3 ∉ A |
| ⊂ | 「…は…の部分集合」 | {2,4} ⊂ A |
| ∅ | 要素が一つもない空集合 | A ∩ {1,3}＝∅ |
2. 全体集合とベン図
今考えるすべての要素を集めたものを全体集合 Uと呼びます。長方形をU、その中の円を集合A、Bとして図示したものがベン図です。
UABAだけ共通Bだけ
3. 共通部分・和集合・補集合
A ∩ B（共通部分）：AにもBにも入る要素。「かつ」と考える。
A ∪ B（和集合）：AまたはBの少なくとも一方に入る要素。共通要素は1回だけ書く。
Aの補集合：全体集合Uの中で、Aに入らない要素。
「または」は数学では通常、両方に当てはまる場合も含みます。そのため A∪B には中央の共通部分も入ります。
4. 例題
U＝{1, 2, …, 12}。Aは2の倍数、Bは12の約数です。
A＝{2, 4, 6, 8, 10, 12}
B＝{1, 2, 3, 4, 6, 12}
A∩B＝{2, 4, 6, 12}
A∪B＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
Aの補集合＝{1, 3, 5, 7, 9, 11}
B＝{1, 2, 3, 4, 6, 12}
A∩B＝{2, 4, 6, 12}
A∪B＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
Aの補集合＝{1, 3, 5, 7, 9, 11}
12の約数には1と4も含まれます。約数は「12を割り切れる正の整数」を1から順に確かめると、抜けを防げます。なお、Aの補集合は「UからAを取り除く」ので、Bとは無関係に求めます。
5. ド・モルガンの法則
少し先の内容ですが、確率でもよく使います。
「AまたはB」の補集合 ＝「Aでない、かつ、Bでない」
「AかつB」の補集合 ＝「Aでない、または、Bでない」
たとえば「少なくとも一方が当たり」の反対は、「両方とも外れ」です。
6. 確認問題
U＝{1,2,…,10}、A＝{2,4,6,8,10}、B＝{2,3,5,7} のとき、A∩B、A∪B、Bの補集合を求めてください。